Con este código en functions.php:

function remove_admin_bar_links() {
    global $wp_admin_bar;
    // Elimina logotipo de WordPress (y submenú)
    $wp_admin_bar->remove_menu('wp-logo');
    // Elimina icono de notificaciónes de actualizaciones
    $wp_admin_bar->remove_menu('updates'); 
}
add_action( 'wp_before_admin_bar_render', 'remove_admin_bar_links' );

hacemos que desaparezca el logotipo de WordPress y las actualizaciones, haciendo que esta barra este mucho más limpia para nuestros usuarios registrados.